Gặp gỡ người xin tị nạn người Kurd, người đã giành giải thưởng lớn nhất môn toán

 Caucher Birkar, người lớn lên trong trang trại ở Iran, trở thành người Kurd đầu tiên giành được Huy chương Fields cho những khám phá về một góc gần như bị bỏ rơi của toán học.

Gặp gỡ người xin tị nạn người Kurd, người đã giành giải thưởng lớn nhất môn toán

Caucher Birkar trong vườn nhà gần Cambridge, Anh. [Ảnh: Philipp Ammon cho Tạp chí Quanta; Minh họa bởi Olena Shmahalo / Tạp chí Quanta]

HƠN NHƯ THẾ NÀY

Josh Hawley khuyến khích đám đông Capitol. Bây giờ tương lai của anh ấy với tư cách là cảnh sát Big Tech đang gặp nguy hiểm

Bạn không thể chống lại chủ nghĩa phát xít bằng cách mở rộng bang cảnh sát

Bí quyết “hàng chục bánh mì” để duy trì tinh thần khởi nghiệp khi công ty của bạn phát triển

BỞI KEVIN HARTNETT — TẠP CHÍ QUANTAĐỌC LÂU

Mùa xuân này, không lâu sau khi  Caucher Birkar  biết rằng mình sẽ nhận được Huy chương Fields, danh hiệu cao quý nhất trong toán học, anh ấy đã chia sẻ một kỷ niệm từ những năm học đại học của mình. Thậm chí đến thời điểm đó, anh ấy đã đi được một chặng đường dài. Sinh ra và lớn lên trong một ngôi làng nông thôn nông thôn tự cung tự cấp ở vùng người Kurd ở miền tây Iran, Birkar đã đến được Đại học Tehran, một trong những trường đại học hàng đầu trong nước. Ở đó, tại câu lạc bộ toán học, anh nhớ lại đã nghiên cứu những bức ảnh của những người đoạt huy chương Fields trên tường. “Tôi nhìn họ và tự nhủ: 'Liệu mình có bao giờ gặp một trong những người này không?' Vào thời điểm đó ở Iran, tôi thậm chí không thể biết rằng mình có thể đến phương Tây ”.

Có rất nhiều điều về tương lai của ông mà Birkar không thể đoán trước được vào thời điểm đó: chuyến bay của ông từ Iran, yêu cầu tị nạn chính trị của ông, sự thúc đẩy để vực dậy một lĩnh vực toán học gần như bị bỏ rơi. Và tháng này, tại một buổi lễ ở Rio de Janeiro, vinh dự được chọn là một trong bốn người đoạt Huy chương Fields, giải thưởng do Liên minh Toán học Quốc tế trao bốn năm một lần.  về các nhà toán học thành tựu nhất trên thế giới dưới 40 tuổi vào đầu năm mà giải thưởng được trao. Birkar, người đã bước sang tuổi 40 vào tháng Bảy, nói: “Tôi không thể tưởng tượng sẽ gặp những người này đến mức một ngày nào đó tôi sẽ tự mình cầm huy chương – Tôi không thể tưởng tượng rằng điều này sẽ thành hiện thực. (Anh ấy có lẽ cũng không thể ngờ rằng, chưa đầy một giờ sau lễ trao giải, huy chương vàng 14 karat của anh ấy sẽ mất tích khi chiếc cặp của anh ấy  bị đánh cắp ; trong vài ngày, Birkar đã được hứa hẹn là một người thay thế y hệt.)

Là một nhà toán học, Birkar đã giúp mang lại trật tự cho vô số phương trình đa thức - những phương trình bao gồm các biến số khác nhau được nâng lên thành các lũy thừa khác nhau. Không có hai phương trình nào hoàn toàn giống nhau, nhưng Birkar đã giúp tiết lộ rằng nhiều phương trình có thể được phân loại gọn gàng thành một số ít các họ. Trong  hai  bài báo  được xuất bản vào năm 2016, ông đã chỉ ra rằng vô số đa thức khác nhau có thể được xác định bằng một số hữu hạn đặc điểm – một kết quả chứng minh rằng dãy phương trình đại số dường như không liên quan này có điểm chung.

Công trình gần đây của Birkar về các giống Fano là một trong những kết quả toán học có ảnh hưởng nhất của ông, nhưng nó xuất phát từ một thôi thúc đã chi phối ông kể từ khi ông bắt đầu tự hướng dẫn toán học gần ba thập kỷ trước: một sự thôi thúc để tạo ra một cái gì đó mới.

CUỘC CÁCH MẠNG ĐẦU TIÊN

Khi Birkar còn rất nhỏ, anh thích ở gần mẹ mình, Sakina, trong khi bà nướng bánh mì. Cô nhớ một cảnh khi Birkar khoảng ba tuổi. “Anh ấy đang ngồi cạnh tôi, cố gắng đến rất gần tôi, cố gắng để chân anh ấy chạm vào chân tôi,” cô nói.

Mẹ của Birkar đã kể cho tôi nghe câu chuyện này qua Skype. Anh ấy và tôi đang ngồi trong phòng khách của căn nhà nhỏ của mình trong Cambourne, một cộng đồng 10 dặm bên ngoài của Cambridge, Anh, đã được xây dựng từ đầu hai thập kỷ trước. Mẹ anh đang ở trong ngôi nhà của gia đình ở Marivan, một ngôi làng của người Kurd ở vùng núi dọc biên giới Iran-Iraq, nơi gia đình Birkar đã sống qua nhiều thế hệ. Cô ấy đội một chiếc khăn trùm đầu màu trắng và đang ngồi trên chiếc ghế dài giữa người anh cả của Birkar và cha của anh, Majid.

Caucher Birkar sinh năm 1978, là con thứ ba trong gia đình có 6 người con. Gia đình ông sống trong một trang trại tự cung tự cấp trồng lúa, lúa mì và rau. Họ cũng thường xuyên nuôi bò và ngựa. Gia đình đã tự cung tự cấp theo cách đã giúp che chở Birkar khỏi sự hỗn loạn tồi tệ nhất đã nhấn chìm khu vực trong thời thơ ấu của anh - Cách mạng Hồi giáo năm 1979 và cuộc chiến tranh tàn khốc kéo dài 8 năm với Iraq ngay sau đó.

“Ngay sau khi tôi sinh ra, đã có một cuộc cách mạng và chiến tranh, nhưng thực tế là chúng tôi sản xuất mọi thứ chúng tôi cần có nghĩa là chúng tôi có thể tồn tại,” anh nói.

Cha của Birkar đã đi học một vài năm. Mẹ anh không được học hành chính quy. Nhưng Birkar và các anh chị em của mình đã đến trường làng. Khoảng lớp năm, Birkar bắt đầu chú ý đến toán học. “Tôi đã cảm thấy điều gì đó. Không có gì nghiêm trọng, chỉ là một chút cảm giác rằng tôi giỏi toán học, ”anh nói.

Tôi đã đọc tất cả những cuốn sách này và tôi có cảm giác rằng chỉ đọc những thứ thôi là chưa đủ. Tôi cũng muốn tạo ra những thứ của riêng mình, để tạo ra một cái gì đó mới.

Ban đầu, người quản lý chính cho mối quan tâm toán học của Birkar là Haidar, anh cả của ông, người đã giới thiệu cho ông các khái niệm cơ bản về phép tính. “Anh ấy rất tò mò về các câu hỏi toán học và vật lý,” Haidar nói qua Skype. “Tôi nhớ anh ấy đã nhặt sách giáo khoa của tôi và cố gắng giải các bài toán.” Birkar nhớ anh trai mình cũng đã dạy cho anh một điều khác: kiến ​​thức đó có thể rất tinh vi.

“Anh ấy có lẽ là người duy nhất tôi biết theo đuổi sở thích của mình, không chỉ học giỏi. Nó còn hơn thế nữa, anh ấy thực sự hứng thú với một số thứ, ”Birkar nói. "Anh ấy sẽ làm những điều mà không ai khác sẽ làm trong môi trường đó."

Đến trung học, Birkar đã vượt xa kiến ​​thức toán học của anh trai mình và phải tự học chủ đề này. Anh lấy ra những cuốn sách từ thư viện địa phương với những tựa như  Đàn ông Toán học  và  Toán học là gì . Gia đình nhớ anh ấy thường xuyên đọc sách vào đêm khuya, trong khi nghe nhạc - một thói quen mà anh ấy duy trì cho đến ngày nay.

Ngay cả trong những lần đầu tiên sử dụng toán học chuyên nghiệp, Birkar muốn làm nhiều hơn là chỉ chiêm ngưỡng những khám phá của người khác. “Tôi đã đọc tất cả những cuốn sách này và tôi có cảm giác rằng chỉ đọc những thứ thôi là chưa đủ. Tôi cũng muốn tạo ra những thứ của riêng mình, tạo ra một cái gì đó mới, ”anh nói.

Khi còn là một học sinh trung học, ông bắt đầu viết các chứng minh toán học của riêng mình. Ở trường đại học, ông bắt đầu gửi chúng cho các tạp chí toán học. Sau đó, sau khi được đào tạo bài bản, anh nhận ra rằng những bằng chứng mà anh tìm được đã được khám phá từ lâu. “Có thể tôi không chứng minh được điều gì đáng kể, nhưng chỉ là kinh nghiệm, thái độ đó, được chứng minh là hữu ích trong giai đoạn sau của quá trình giáo dục của tôi,” anh nói.

Birkar đã thi vào Đại học Tehran. Vào năm cuối đại học, anh ấy đã đi du lịch đến Anh. Trong khi ở đó, anh ấy xin tị nạn chính trị để giải quyết “các vấn đề chính trị ở Iran đối với những người như tôi,” anh ấy nói, đề cập đến danh tính của anh ấy là người Kurd, một nhóm dân tộc thiểu số thường bị đàn áp do nhà nước bảo trợ. Chính phủ Anh đã đặt ông ở Nottingham, một thành phố ở miền trung nước Anh. Trong suốt một năm để chính phủ xử lý trường hợp của anh ta, Birkar đã gặp các giảng viên tại Đại học Nottingham, nơi anh ta ghi danh sau khi yêu cầu tị nạn của anh ta được chấp thuận.

Birkar ở nhà gần Cambridge, chơi các bài hát của người Kurd trên một chiếc trống từ Thái Lan, quê hương của vợ anh. [Ảnh: Philipp Ammon  cho Tạp chí Quanta ]

Không có ai ở Đại học Nottingham chuyên về hình học đại số, lĩnh vực mà Birkar hy vọng sẽ vào được. Nhưng cố vấn chính thức của Birkar ở đó, một nhà lý thuyết số tên là  Ivan Fesenko , đã khuyến khích anh ta tham dự các sự kiện toán học bên ngoài trường đại học. Tại một hội nghị năm 2002 ở Cambridge, Birkar gặp  Vyacheslav Shokurov , một nhà toán học tại Đại học Johns Hopkins. Khi mới bắt đầu mối quan hệ của họ, Shokurov đã đưa Birkar đi trượt tuyết cách Baltimore vài giờ. Shokurov đã bị ấn tượng bởi cách Birkar nhặt nó nhanh chóng, và cả cách mang của anh ta.

Shokurov nói qua email: “Anh ấy là một người nhút nhát và đàng hoàng, có thể vì anh ấy lớn lên ở một ngôi làng và trong một gia đình truyền thống.

Vào thời điểm gặp Birkar, Shokurov đã làm việc trong nhiều năm trong lĩnh vực hình học đại số gần như bị bỏ rơi được gọi là hình học nhị phân. Hình học sinh học đã chứng kiến ​​một số tiến bộ lớn hơn một thập kỷ trước đó, nhưng lĩnh vực này đã thất bại vì thiếu ý tưởng mới. “Toàn bộ gần như dừng lại. Hầu hết mọi người thực sự đã bỏ cuộc, ”Birkar nói.

Shokurov là một trong số ít các nhà toán học không làm như vậy. Tại Birkar, anh đã tìm thấy một nhà toán học trẻ tài năng có thể giúp phục hồi lĩnh vực này.

BA LOẠI VÔ HẠN

Trong văn phòng của mình tại Đại học Cambridge, Birkar trưng bày hai bức ảnh của nhà toán học Alexander Grothendieck. Grothendieck là một người tị nạn - anh ta  chạy trốn khỏi Đức Quốc xã - và một người được huy chương Fields, giống như Birkar. Ông cũng được nhiều người coi là nhà toán học có ảnh hưởng nhất trong nửa sau thế kỷ 20. Trong một trong những bức ảnh, Grothendieck ngồi với một nhóm đa dạng các nhà hoạt động tham gia vào phong trào môi trường của Pháp vào đầu những năm 1970. Birkar, người lớn lên là người Kurd ở Iran và hiện đang sống ở Anh, nơi anh ấy kết hôn với một phụ nữ Thái Lan, ngưỡng mộ cả hai khía cạnh của Grothendieck: tầm nhìn toán học của anh ấy và cách anh ấy di chuyển dễ dàng giữa các loại người khác nhau.

“Tất cả những nền văn hóa này khiến mọi thứ trở nên thú vị hơn đối với tôi. Tất cả những nền văn hóa này mang lại cho bạn cảm giác thích thú, ”anh nói. Cậu con trai bốn tuổi của anh, Zanko, là sự phản ánh sống động của sự đa dạng này: Anh nói tiếng Thái bản địa của mẹ, tiếng Kurd bản địa của cha và tiếng Anh của quê hương anh.

Một bộ sưu tập các đồ vật từ các chuyến du lịch của Birkar . [Ảnh: Philipp Ammon cho Tạp chí Quanta]

Hình học đại số cũng là sự pha trộn của các nền văn hóa. Một bên là đại số, nghiên cứu phương trình, và bên kia là hình học, nghiên cứu về hình dạng. Hai người đưa ra những cách nhìn khác nhau về cùng một vấn đề. Lấy phương trình đại số  y  = 2 x  - 3. Nếu bạn vẽ các nghiệm của nó, bạn sẽ có một đối tượng hình học – một đường thẳng. Hai quan điểm bổ sung cho nhau. Nếu bạn muốn xác định một nghiệm chung cho hai phương trình, như  y  = 2 x  - 3 và  y  = 3 x  + 5, bạn có thể tìm câu trả lời thông qua đại số hoặc bạn có thể vẽ đồ thị cả hai phương trình và xem chúng giao nhau ở đâu.

János Kollár , một nhà toán học tại Đại học Princeton , cho biết: “Đôi khi một câu hỏi hình học có thể được giải bằng phương pháp đại số và đôi khi một câu hỏi đại số có thể được giải bằng phương pháp hình  học. "Bạn có thể đi giữa hai mặt này và làm giàu cho cả hai."

Phương trình tuyến tính là phương trình đại số đơn giản nhất. Có nhiều loại khác. Chúng có thể có nhiều biến hơn và những biến đó có thể được nâng lên ở các mức độ khác nhau. Bạn cũng có thể nghĩ về tập hợp các nghiệm chung cho một nhóm phương trình. Tập hợp này được gọi là "đa dạng đại số". Có vô số kiểu đại số tồn tại; mỗi cái có một biểu diễn hình học duy nhất.

“Điều quan trọng nhất là hình dạng, hình thức, cấu trúc của bộ giải pháp,” Birkar nói. "Tập hợp các giải pháp là cái mà chúng tôi gọi một cách gần như là một sự đa dạng đại số."

Các giống đại số là một đám đông ngỗ ngược. Các nhà toán học muốn áp đặt một số trật tự cho họ. Sự thôi thúc này không khác quá nhiều so với sự thôi thúc phân loại đời sống sinh vật - thế giới sống cảm thấy dễ hiểu hơn đối với tâm trí của chúng ta và có ý nghĩa hơn về hình dạng của nó, nếu chúng ta nghĩ về phyla và gia đình hơn là tính đến từng sinh vật của riêng nó.

Hình học sinh học là một cách biến đổi các giống đại số để chúng có thể được phân loại. Đó là một loại phẫu thuật: Bạn bắt đầu với một loại đại số, có dạng đặc trưng của riêng nó, sau đó cắt bỏ một số vết sưng và làm phẳng một số nếp gấp của nó, cho đến khi bạn kết thúc với một hình dạng chung chung hơn. Có những giới hạn nghiêm ngặt về những gì bạn được phép cắt giảm, điều này đảm bảo rằng bạn không hoàn toàn ảnh hưởng đến sự đa dạng mà bạn đã bắt đầu. Sau phẫu thuật, nhiều giống khác biệt trước đây sẽ giống nhau; chúng được cho là thuộc cùng một "lớp tương đương hai tỷ lệ."

Christopher Hacon , một nhà toán học tại Đại học Utah và một nhân vật hàng đầu trong lĩnh vực hình học sinh học, người sẽ phát biểu về công trình của Birkar cho biết: “Chúng tôi đang tập trung vào bức tranh lớn và không lo lắng về các giống không đồng ý về một số điểm nhỏ.  tại lễ trao Huy chương Fields ở Rio.

Có ba loại tương đương hai thế hệ rộng: giống Fano, giống Calabi-Yau, và giống loại chung. Ba lớp là những hình dạng chung, giống như cách mà thuật ngữ "côn trùng" là chung liên quan đến các sinh vật cụ thể thuộc nhóm đó. Mỗi lớp có một kiểu cong đều khác nhau (tương ứng là dương đều, phẳng đều hoặc âm đều). Các nhà toán học hy vọng có thể chỉ ra rằng mọi đa dạng đại số đều giảm thành một trong ba dạng hình dạng chung này thông qua quá trình biến đổi hai thế hệ.

Kollár nói: “Chúng tôi hy vọng sẽ tìm thấy các vật thể có cùng độ cong ở khắp mọi nơi. “Chúng tôi không muốn một thứ gì đó đôi khi giống yên ngựa, đôi khi giống hình cầu, và đôi khi có những phần phẳng. Nó quá phức tạp ”.

[Hình ảnh: Lucy Reading-Ikkanda / Tạp chí Quanta]

ĐIỂM ĐẶT HÀNG

Birkar đã làm bài toán quan trọng nhất của mình trong phòng ăn, làm việc một mình. Vào một ngày thông thường, anh ấy sẽ làm việc tại bàn, bắt nhịp và suy nghĩ, pha trà hoặc bật nhạc, thường là các bài hát cổ điển hoặc đương đại của người Kurd. “Rất nhiều thứ cứ hiện ra trong đầu tôi. Có khi cả ngày tôi chỉ viết một trang, ”anh nói. Sau vài giờ suy nghĩ, anh ấy thích giải tỏa đầu óc bằng cách đạp xe dọc theo những con đường mòn len lỏi qua khu phố của anh ấy.

Nhìn từ xa, khó có thể phát hiện ra hoạt động trí tuệ đang diễn ra sôi nổi đặc trưng cho những ngày của Birkar. Vài năm trước anh ấy ở Thái Lan, thăm gia đình vợ. Một buổi chiều, ông của cô nói với cô: “Chồng cô làm nghề gì? Anh ấy đang ở trong vườn nhìn chằm chằm vào một cây xoài không làm gì cả ”.

Nhưng trong số các nhà toán học, Birkar được biết đến với cường độ tấn công các vấn đề. “Ấn tượng của tôi là anh ấy có xu hướng hơi đơn độc, tập trung và quyết tâm vào các vấn đề mà anh ấy đang giải quyết,” Hacon nói. "Anh ấy thực sự nắm vững các chi tiết kỹ thuật của vấn đề trong tầm tay và thành công rực rỡ."

Công việc của Birkar về các giống đại số là một phần của nỗ lực không ngừng được gọi là chương trình mô hình tối thiểu. Mục đích là để chứng minh rằng tất cả các giống đại số có thể được rút gọn thành một trong ba loại cơ bản thông qua phép biến đổi nhị phân. Chương trình mô hình tối thiểu có từ hơn 100 năm trước đối với một nhóm các nhà toán học người Ý, những người lần đầu tiên phân loại các giống đại số hai chiều (các giống có ba biến). Gần đây hơn, vào những năm 1980, Shigefumi Mori đã chứng minh rằng tất cả các giống đại số ba chiều (giống có bốn biến) đều giảm xuống một trong ba loại này. Mori, một nhà toán học tại Đại học Kyoto và hiện là  chủ tịch của Liên minh Toán học Quốc tế , đã giành được Huy chương Fields vào năm 1990 cho công trình này.

Nhưng sau kết quả của Mori, lĩnh vực hình học nhị phân đã im ắng. Birkar nói: “Có những thách thức lớn để mở rộng điều này lên các chiều cao hơn.

Shokurov là một trong số ít người gắn bó với lĩnh vực này suốt những năm 1990. Một phần lớn là nhờ những nỗ lực của ông, hình học sinh học đã trở lại vào đầu những năm 2000. Kể từ đó, các nhà toán học đã đạt được nhiều tiến bộ trong việc phân loại các loại đại số theo mọi chiều, và Birkar là một trong số ít các nhà toán học ở trung tâm của tất cả. Năm 2006, cùng với Hacon,  James McKernan  của Đại học California, San Diego, và  Paolo Cascini  của Đại học Hoàng gia London, ông là đồng tác giả của một  bài báo  khám phá cấu trúc phân loại cho các loại giống nói chung. Hacon và McKernan sau đó  đã giành được Giải thưởng đột phá trị giá 3 triệu đô la  một phần cho tác phẩm đó.

Birkar đã có đóng góp cá nhân lớn nhất cho toán học vào năm 2016. Năm đó, ông đã xuất bản hai bài báo giải quyết một trong những vấn đề quan trọng nhất liên quan đến bản chất của các loại Fano cụ thể. Các bài báo đã chứng minh rằng thông qua quá trình biến đổi hai thế hệ, các giống Fano tạo thành một họ gọn gàng có thể được xác định bằng một số đặc điểm nhỏ.

Để hiểu điều này có nghĩa là gì, trước tiên hãy hình dung mặt phẳng phẳng. Bây giờ hãy tưởng tượng tất cả các đường thẳng đi qua một điểm trên mặt phẳng. Tồn tại vô số dòng như vậy. Bây giờ vẽ một vòng tròn có tâm tại điểm đó. Mỗi đường thẳng cắt đường tròn tại hai vị trí duy nhất. Do đó, mỗi đường có thể được xác định, hoặc được "tham số hóa" bởi những điểm này (hoặc chỉ một trong những điểm này). Thực tế là tất cả các đường đều có thể được tham số hóa bởi các điểm trên cùng một đối tượng hình học gọn gàng – hình tròn – cho thấy có điều gì đó có trật tự về họ đường của bạn. Thay vào đó, nếu các dòng được sắp xếp ngẫu nhiên về máy bay, bạn sẽ không thể đưa ra bất kỳ loại tuyên bố gọn gàng nào về tất cả chúng.

Trong các bài báo năm 2016, Birkar đã tạo ra một kiểu tham số hóa tương tự cho các loại giống Fano cụ thể (những loại có kích thước cố định với "điểm kỳ dị nhẹ"). Ông đã chứng minh rằng, sau sự biến đổi hai thế hệ, các giống Fano trở nên giống như các đường thẳng đi qua một điểm: Chúng có mối quan hệ đủ trật tự với nhau mà chúng có thể được tham số hóa bởi cùng một đối tượng hình học gọn gàng. Birkar đã chứng minh rằng tất cả các giống Fano ở bất kỳ không gian nào đều có thể được xác định bởi một số lượng hữu hạn các tham số.

Câu chuyện gốc  được tái bản với sự cho phép của  Tạp chí Quanta , một ấn phẩm độc lập về mặt biên tập của  Tổ chức Simons  với nhiệm vụ nâng cao hiểu biết của công chúng về khoa học bằng cách đưa ra những phát triển và xu hướng nghiên cứu trong toán học cũng như khoa học vật lý và đời sống.

Nói rằng có vô hạn các giống đại số có thể được xác định bởi một tập hợp hữu hạn các đặc điểm có nghĩa là chúng có chung một cái gì đó nguyên tố. Nếu bạn tạo một danh mục cho các sinh vật và bạn cần vô số đặc điểm để tính cho tất cả các sinh vật trong danh mục đó, danh mục của bạn sẽ vô nghĩa. Nhưng nếu bạn có thể xác định một tập hợp các đối tượng có vẻ trái ngược nhau bằng một tập hợp hữu hạn các đặc điểm, bạn đã đạt được một số tiến bộ.

“Khi bạn có thể tham số hóa mọi thứ với vô số tham số, điều này có nghĩa là họ chia sẻ nhiều thuộc tính,” Birkar nói. “Đó là lý do tại sao tính hữu hạn lại quan trọng, bởi vì theo một cách nào đó, bạn có thể nói điều gì đó về tất cả chúng cùng một lúc.”

Birkar đã chứng minh rằng có một số lượng hữu hạn các đặc điểm xác định các giống Fano, nhưng vẫn còn nhiều điều hơn nữa về họ phương trình đại số khổng lồ này mà anh ấy muốn biết. Khi trở về nhà từ Rio trong tháng này, anh ấy sẽ bắt tay vào việc khám phá các đặc điểm cụ thể hơn về hình học của chúng. Anh ta sẽ làm như vậy với một địa vị mới xuất hiện trong số các nhà toán học và nhận thức về khả năng một người anh ta khó đạt được nó. Đồng thời, anh vẫn bị thúc đẩy bởi chính sự thôi thúc đã lôi cuốn anh vào toán học khi anh lần đầu tiên khám phá ra lĩnh vực này cách đây nhiều thập kỷ ở Marivan.

“Bạn lấy ý tưởng từ ai đó, ở đâu đó, và bạn tạo ra một cái gì đó mới,” anh nói. "Bạn đóng góp một cái gì đó mới và tạo ra nhiều thứ đẹp hơn."